Решите уравнение x^4+1=0 (х в степени 4 плюс 1 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4+1=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4+1=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4        
    x  + 1 = 0
    $$x^{4} + 1 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} + 1 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = -1$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
             ___       ___
           \/ 2    I*\/ 2 
    x1 = - ----- - -------
             2        2   
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
             ___       ___
           \/ 2    I*\/ 2 
    x2 = - ----- + -------
             2        2   
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
           ___       ___
         \/ 2    I*\/ 2 
    x3 = ----- - -------
           2        2   
    $$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
           ___       ___
         \/ 2    I*\/ 2 
    x4 = ----- + -------
           2        2   
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
            ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
          \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
    0 + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
            2        2          2        2        2        2        2        2   
    $$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) - \sqrt{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
      /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
      |  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
    1*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
      \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /
    $$1 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
    =
    1
    $$1$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
    x2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
    x3 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
    x4 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
    График
    x^4+1=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/a/e4/4b92c874d112ce34610c0185d6a1b.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: