Решите уравнение x^4-9=0 (х в степени 4 минус 9 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4-9=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4-9=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4        
    x  - 9 = 0
    $$x^{4} - 9 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} - 9 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{9}$$
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{9}$$
    или
    $$x = \sqrt{3}$$
    $$x = - \sqrt{3}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = sqrt3

    Получим ответ: x = sqrt(3)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -sqrt3

    Получим ответ: x = -sqrt(3)
    или
    $$x_{1} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{2} = \sqrt{3}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 9$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 9$$
    где
    $$r = \sqrt{3}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt{3}$$
    $$z_{2} = \sqrt{3}$$
    $$z_{3} = - \sqrt{3} i$$
    $$z_{4} = \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{2} = \sqrt{3}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3} i$$
    $$x_{4} = \sqrt{3} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
            ___
    x1 = -\/ 3 
    $$x_{1} = - \sqrt{3}$$
           ___
    x2 = \/ 3 
    $$x_{2} = \sqrt{3}$$
              ___
    x3 = -I*\/ 3 
    $$x_{3} = - \sqrt{3} i$$
             ___
    x4 = I*\/ 3 
    $$x_{4} = \sqrt{3} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        ___     ___       ___       ___
    - \/ 3  + \/ 3  - I*\/ 3  + I*\/ 3 
    $$\left(\left(- \sqrt{3} + \sqrt{3}\right) - \sqrt{3} i\right) + \sqrt{3} i$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
       ___   ___ /     ___\     ___
    -\/ 3 *\/ 3 *\-I*\/ 3 /*I*\/ 3 
    $$\sqrt{3} i - \sqrt{3} \sqrt{3} \left(- \sqrt{3} i\right)$$
    =
    -9
    $$-9$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -1.73205080756888
    x2 = 1.73205080756888*i
    x3 = -1.73205080756888*i
    x4 = 1.73205080756888
    График
    x^4-9=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/3/07/4a3859faefc9dd5d5712876d83d73.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: