Решите уравнение x^4=2 (х в степени 4 равно 2) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4=2 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4=2

    Решение

    Вы ввели [src]
     4    
    x  = 2
    $$x^{4} = 2$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} = 2$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{2}$$
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{2}$$
    или
    $$x = \sqrt[4]{2}$$
    $$x = - \sqrt[4]{2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^1/4

    Получим ответ: x = 2^(1/4)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2^1/4

    Получим ответ: x = -2^(1/4)
    или
    $$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
    $$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 2$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 2$$
    где
    $$r = \sqrt[4]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
    $$z_{2} = \sqrt[4]{2}$$
    $$z_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
    $$z_{4} = \sqrt[4]{2} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
    $$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$
    $$x_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
    $$x_{4} = \sqrt[4]{2} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
          4 ___
    x1 = -\/ 2 
    $$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
         4 ___
    x2 = \/ 2 
    $$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$
            4 ___
    x3 = -I*\/ 2 
    $$x_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
           4 ___
    x4 = I*\/ 2 
    $$x_{4} = \sqrt[4]{2} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
      4 ___   4 ___     4 ___     4 ___
    - \/ 2  + \/ 2  - I*\/ 2  + I*\/ 2 
    $$\left(\left(- \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2}\right) - \sqrt[4]{2} i\right) + \sqrt[4]{2} i$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
     4 ___ 4 ___ /   4 ___\   4 ___
    -\/ 2 *\/ 2 *\-I*\/ 2 /*I*\/ 2 
    $$\sqrt[4]{2} i - \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2} \left(- \sqrt[4]{2} i\right)$$
    =
    -2
    $$-2$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -1.18920711500272
    x2 = 1.18920711500272
    x3 = 1.18920711500272*i
    x4 = -1.18920711500272*i
    График
    x^4=2 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/1/e4/032e0c84908ac9efc6619b9b0202c.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: