Решите уравнение z^8-1=0 (z в степени 8 минус 1 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^8-1=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^8-1=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     8        
    z  - 1 = 0
    $$z^{8} - 1 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{8} - 1 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[8]{z^{8}} = \sqrt[8]{1}$$
    $$\sqrt[8]{z^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{1}$$
    или
    $$z = 1$$
    $$z = -1$$
    Получим ответ: z = 1
    Получим ответ: z = -1
    или
    $$z_{1} = -1$$
    $$z_{2} = 1$$

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{8} = 1$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{8 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{4}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = -1$$
    $$w_{2} = 1$$
    $$w_{3} = - i$$
    $$w_{4} = i$$
    $$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = -1$$
    $$z_{2} = 1$$
    $$z_{3} = - i$$
    $$z_{4} = i$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -1
    $$z_{1} = -1$$
    z2 = 1
    $$z_{2} = 1$$
    z3 = -I
    $$z_{3} = - i$$
    z4 = I
    $$z_{4} = i$$
             ___       ___
           \/ 2    I*\/ 2 
    z5 = - ----- - -------
             2        2   
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
             ___       ___
           \/ 2    I*\/ 2 
    z6 = - ----- + -------
             2        2   
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
           ___       ___
         \/ 2    I*\/ 2 
    z7 = ----- - -------
           2        2   
    $$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
           ___       ___
         \/ 2    I*\/ 2 
    z8 = ----- + -------
           2        2   
    $$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                         ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
                       \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
    -1 + 1 - I + I + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
                         2        2          2        2        2        2        2        2   
    $$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) - i\right) + i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
            /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
            |  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
    -(-I)*I*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
            \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /
    $$i \left(- \left(-1\right) i\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
    =
    -1
    $$-1$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
    z2 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
    z3 = -1.0*i
    z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
    z5 = 1.0
    z6 = -1.0
    z7 = 1.0*i
    z8 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
    График
    z^8-1=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/0f/1851b31bdf7c9275fdf132effeb1c.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: