z^3-9=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: z^3-9=0

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     3        
    z  - 9 = 0
    $$z^{3} - 9 = 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$z^{3} - 9 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{9}$$
    или
    $$z = 3^{\frac{2}{3}}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = 3^2/3

    Получим ответ: z = 3^(2/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{3} = 9$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 9$$
    где
    $$r = 3^{\frac{2}{3}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    и
    $$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
    $$w_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
    $$w_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
    $$z_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
    $$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
          2/3
    z1 = 3   
    $$z_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
            2/3       6 ___
           3      3*I*\/ 3 
    z2 = - ---- - ---------
            2         2    
    $$z_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
            2/3       6 ___
           3      3*I*\/ 3 
    z3 = - ---- + ---------
            2         2    
    $$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 i}{2} \sqrt[6]{3}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    z1 = 2.08008382305000
    z2 = -1.04004191153 + 1.80140543276*i
    z3 = -1.04004191153 - 1.80140543276*i