Решите уравнение z^3=-i (z в кубе равно минус i) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^3=-i (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=-i

    Виды выражений


    Решение

    Вы ввели [src]
     3     
    z  = -I
    $$z^{3} = - i$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{3} = - i$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- i}$$
    или
    $$z = \sqrt[3]{- i}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -i^1/3

    Получим ответ: z = (-i)^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{3} = - i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = - i$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = - i$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = i$$
    $$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
    $$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = i$$
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
    $$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = I
    $$z_{1} = i$$
                 ___
           I   \/ 3 
    z2 = - - - -----
           2     2  
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
           ___    
         \/ 3    I
    z3 = ----- - -
           2     2
    $$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                ___     ___    
          I   \/ 3    \/ 3    I
    I + - - - ----- + ----- - -
          2     2       2     2
    $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
      /        ___\ /  ___    \
      |  I   \/ 3 | |\/ 3    I|
    I*|- - - -----|*|----- - -|
      \  2     2  / \  2     2/
    $$i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)$$
    =
    -I
    $$- i$$
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    $$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
    где
    $$p = \frac{b}{a}$$
    $$p = 0$$
    $$q = \frac{c}{a}$$
    $$q = 0$$
    $$v = \frac{d}{a}$$
    $$v = i$$
    Формулы Виета
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = i$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.866025403784439 - 0.5*i
    z2 = -0.866025403784439 - 0.5*i
    z3 = 1.0*i
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: