x^2/2+1/x=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: x^2/2+1/x=0

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2        
    x    1    
    -- + - = 0
    2    x    
    $$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} = 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано уравнение
    $$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{2}$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{- \frac{1}{2}}}$$
    или
    $$x = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 1^2/3*2^1/3

    Получим ответ: x = -(-1)^(2/3)*2^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$\frac{1}{z^{3}} = - \frac{1}{2}$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$\frac{1}{r^{3}} e^{- 3 i p} = - \frac{1}{2}$$
    где
    $$r = \sqrt[3]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{- 3 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$- i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = -1$$
    и
    $$- \sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = - \frac{2 \pi}{3} N - \frac{\pi}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
    $$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
    $$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
    $$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
    График
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          3 ___
    x1 = -\/ 2 
    $$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
         3 ___     3 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x2 = ----- - -------------
           2           2      
    $$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
         3 ___     3 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x3 = ----- + -------------
           2           2      
    $$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    x1 = -1.25992104989487
    x2 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
    x3 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i