Решите уравнение z^3=8*i (z в кубе равно 8 умножить на i) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^3=8*i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=8*i

    Решение

    Вы ввели [src]
     3      
    z  = 8*I
    $$z^{3} = 8 i$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{3} = 8 i$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
    или
    $$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = 2*i^1/3

    Получим ответ: z = 2*i^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{3} = 8 i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = i$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - 2 i$$
    $$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
    $$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - 2 i$$
    $$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
    $$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -2*I
    $$z_{1} = - 2 i$$
               ___
    z2 = I - \/ 3 
    $$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
               ___
    z3 = I + \/ 3 
    $$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                 ___         ___
    -2*I + I - \/ 3  + I + \/ 3 
    $$\left(- 2 i + \left(- \sqrt{3} + i\right)\right) + \left(\sqrt{3} + i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
         /      ___\ /      ___\
    -2*I*\I - \/ 3 /*\I + \/ 3 /
    $$- 2 i \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} + i\right)$$
    =
    8*I
    $$8 i$$
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    $$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
    где
    $$p = \frac{b}{a}$$
    $$p = 0$$
    $$q = \frac{c}{a}$$
    $$q = 0$$
    $$v = \frac{d}{a}$$
    $$v = - 8 i$$
    Формулы Виета
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = - 8 i$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 1.73205080756888 + 1.0*i
    z2 = -2.0*i
    z3 = -1.73205080756888 + 1.0*i
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: