Решите уравнение x^6=2 (х в степени 6 равно 2) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^6=2 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^6=2

    Решение

    Вы ввели [src]
     6    
    x  = 2
    $$x^{6} = 2$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{6} = 2$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{2}$$
    $$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{2}$$
    или
    $$x = \sqrt[6]{2}$$
    $$x = - \sqrt[6]{2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^1/6

    Получим ответ: x = 2^(1/6)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2^1/6

    Получим ответ: x = -2^(1/6)
    или
    $$x_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
    $$x_{2} = \sqrt[6]{2}$$

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{6} = 2$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = 2$$
    где
    $$r = \sqrt[6]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
    $$z_{2} = \sqrt[6]{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
    $$x_{2} = \sqrt[6]{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
          6 ___
    x1 = -\/ 2 
    $$x_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
         6 ___
    x2 = \/ 2 
    $$x_{2} = \sqrt[6]{2}$$
           6 ___     6 ___   ___
           \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x3 = - ----- - -------------
             2           2      
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
           6 ___     6 ___   ___
           \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x4 = - ----- + -------------
             2           2      
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
         6 ___     6 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x5 = ----- - -------------
           2           2      
    $$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
         6 ___     6 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x6 = ----- + -------------
           2           2      
    $$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                        6 ___     6 ___   ___     6 ___     6 ___   ___   6 ___     6 ___   ___   6 ___     6 ___   ___
      6 ___   6 ___     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3      \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    - \/ 2  + \/ 2  + - ----- - ------------- + - ----- + ------------- + ----- - ------------- + ----- + -------------
                          2           2             2           2           2           2           2           2      
    $$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
                 /  6 ___     6 ___   ___\ /  6 ___     6 ___   ___\ /6 ___     6 ___   ___\ /6 ___     6 ___   ___\
     6 ___ 6 ___ |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 |
    -\/ 2 *\/ 2 *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|*|----- - -------------|*|----- + -------------|
                 \    2           2      / \    2           2      / \  2           2      / \  2           2      /
    $$- \sqrt[6]{2} \sqrt[6]{2} \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    -2
    $$-2$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.561231024154687 + 0.972080648619833*i
    x2 = -1.12246204830937
    x3 = 0.561231024154687 - 0.972080648619833*i
    x4 = 1.12246204830937
    x5 = -0.561231024154687 - 0.972080648619833*i
    x6 = 0.561231024154687 + 0.972080648619833*i
    График
    x^6=2 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/7/ea/9de3000a2b77a55ad98a35534ddf8.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: