z^6+3*i^8=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^6+3*i^8=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     6      8    
    z  + 3*I  = 0
    $$z^{6} + 3 i^{8} = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{6} + 3 i^{8} = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -3 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{6} = -3$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = -3$$
    где
    $$r = \sqrt[6]{3}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$
    $$w_{2} = \sqrt[6]{3} i$$
    $$w_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$w_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$w_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$w_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$
    $$z_{2} = \sqrt[6]{3} i$$
    $$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$z_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$z_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    $$z_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
            6 ___
    z1 = -I*\/ 3 
    $$z_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$
           6 ___
    z2 = I*\/ 3 
    $$z_{2} = \sqrt[6]{3} i$$
            2/3     6 ___
           3      I*\/ 3 
    z3 = - ---- - -------
            2        2   
    $$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
            2/3     6 ___
           3      I*\/ 3 
    z4 = - ---- + -------
            2        2   
    $$z_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
          2/3     6 ___
         3      I*\/ 3 
    z5 = ---- - -------
          2        2   
    $$z_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
          2/3     6 ___
         3      I*\/ 3 
    z6 = ---- + -------
          2        2   
    $$z_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.04004191152595 + 0.600468477588001*i
    z2 = 1.04004191152595 + 0.600468477588001*i
    z3 = -1.200936955176*i
    z4 = 1.200936955176*i
    z5 = 1.04004191152595 - 0.600468477588001*i
    z6 = -1.04004191152595 - 0.600468477588001*i
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: