Дифференциальное уравнение y''-7y'+10y=e^x

-
+
С неизвестной функцией
(
)
Для задачи Коши
y
=
y’
=
y’’
=
y’’’
=
y’’’’
=
График
от
до

Решение

Вы ввели

$$10 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$10 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = -7$$
$$q = 10$$
$$s = - e^{x}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - 7 k + 10 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = 2$$
$$k_{2} = 5$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{5 x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(5*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{5 x} = e^{x}$$
или
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$5 e^{5 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = e^{x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - \frac{e^{- x}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \frac{e^{- 4 x}}{3}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{e^{- x}}{3}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{3}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{e^{- x}}{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{e^{- 4 x}}{12}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} + C_{4} e^{5 x} + \frac{e^{x}}{4}$$
где C3 и C4 есть константы

Ответ

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} e^{x} + C_{2} e^{4 x} + \frac{1}{4}\right) e^{x}$$

Классификация

factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral

Еще ссылки

Решите дифференциальное уравнение y''-7y'+10y=e^x (у два штриха второго (2-го) порядка минус 7 у штрих первого (1-го) порядка плюс 10 у равно e в степени х) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:

Дифференциальное уравнение

Производная

Предел функции

График функции y =

Идентичные выражения:

y''-7y'+10y=e^x
у два штриха второго (2-го) порядка минус 7 у штрих первого (1-го) порядка плюс 10 у равно e в степени х
у два штриха второго (2-го) порядка минус 7 у штрих первого (1-го) порядка плюс 10 у равно e в степени х
y''-7y'+10y=ex