$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\left(2 x - 5\right) y{\left(x \right)}}{x^{2}} = 5$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\left(2 x - 5\right) y{\left(x \right)}}{x^{2}} = 5$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где
$$P{\left(x \right)} = - \frac{2 x - 5}{x^{2}}$$
и
$$Q{\left(x \right)} = 5$$
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние

y' + P(x)y = 0

с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = - \frac{2 x - 5}{x^{2}}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{2 x - 5}{x^{2}}\right)\, dx = \left(- 2 \log{\left(x \right)} - \frac{5}{x}\right) + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = x^{2} e^{C_{1} + \frac{5}{x}}$$
$$y_{2} = - x^{2} e^{C_{2} + \frac{5}{x}}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C x^{2} e^{\frac{5}{x}}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y' + P(x)y = Q(x)

Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = x^{2} C{\left(x \right)} e^{\frac{5}{x}}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \frac{5 e^{- \frac{5}{x}}}{x^{2}}$$
Зн., C(x) =
$$\int \frac{5 e^{- \frac{5}{x}}}{x^{2}}\, dx = Const + e^{- \frac{5}{x}}$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = x^{2} C{\left(x \right)} e^{\frac{5}{x}}$$
и получим окончательный ответ для y(x):
$$x^{2} e^{\frac{5}{x}} \left(Const + e^{- \frac{5}{x}}\right)$$

$$y{\left(x \right)} = x^{2} \left(C_{1} e^{\frac{5}{x}} + 1\right)$$