Разложить многочлен на множители x+3*x^2+22*x+57

Объединение рациональных выражений

57 + x*(23 + 3*x)

$$x \left(3 x + 23\right) + 57$$

Разложение на множители

/             _____\ /             _____\
|    23   I*\/ 155 | |    23   I*\/ 155 |
|x + -- + ---------|*|x + -- - ---------|
\    6        6    / \    6        6    /

$$\left(x + \left(\frac{23}{6} - \frac{\sqrt{155} i}{6}\right)\right) \left(x + \left(\frac{23}{6} + \frac{\sqrt{155} i}{6}\right)\right)$$

Комбинаторика

        2       
57 + 3*x  + 23*x

$$3 x^{2} + 23 x + 57$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(22 x + \left(3 x^{2} + x\right)\right) + 57$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a x^{2} + b x + c = a \left(m + x\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 3$$
$$b = 23$$
$$c = 57$$
Тогда
$$m = \frac{23}{6}$$
$$n = \frac{155}{12}$$
Итак,
$$3 \left(x + \frac{23}{6}\right)^{2} + \frac{155}{12}$$