График функции y = (Abs((|x^2-3*x|)-5))

Вы ввели

       || 2      |    |
f(x) = ||x  - 3*x| - 5|

$$f{\left (x \right )} = \left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{29}}{2} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.19258240357$$
$$x_{2} = -1.19258240357$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(|x^2 - 3*x| - 5).
$$\left|{-5 + \left|{0^{2} - 0}\right|}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x - 3\right) \operatorname{sign}{\left (x^{2} - 3 x \right )} \operatorname{sign}{\left (\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 5)

(1.5, 2.75)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1.5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [1.5, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 1.5]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(|x^2 - 3*x| - 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right| = \left|{\left|{x^{2} + 3 x}\right| - 5}\right|$$
- Нет
$$\left|{\left|{x^{2} - 3 x}\right| - 5}\right| = - \left|{\left|{x^{2} + 3 x}\right| - 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной