График функции y = (4/x)-(1/x^2)-1

Вы ввели

       4   1     
f(x) = - - -- - 1
       x    2    
           x     

$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.73205080757$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4/x - 1/x^2 - 1.
$$-1 + \frac{4}{0} - \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/2, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1/2]

Возрастает на промежутках

[1/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3}} \left(8 - \frac{6}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(8 - \frac{6}{x}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(8 - \frac{6}{x}\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3/4]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4/x - 1/x^2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1 = -1 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
$$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 1 = 1 - - \frac{4}{x} - - \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной