График функции y = (4*x^2)/(3+x^2)

Вы ввели

           2 
        4*x  
f(x) = ------
            2
       3 + x 

$$f{\left (x \right )} = \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^2)/(3 + x^2).
$$\frac{4 \cdot 0^{2}}{0^{2} + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{8 x^{3}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{8 x}{x^{2} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 3} \left(\frac{32 x^{4}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{40 x^{2}}{x^{2} + 3} + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1, 1]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1] U [1, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 4$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2)/(3 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{x^{2} + 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3} = \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3}$$
- Да
$$\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3} = - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 3}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной