График функции y = 4^(x/(1-x^2))

Вы ввели

          x   
        ------
             2
        1 - x 
f(x) = 4      

$$f{\left (x \right )} = 4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4^(x/(1 - x^2)).
$$4^{\frac{0}{- 0 + 1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{- x^{2} + 1}\right) \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4^{- \frac{x}{x^{2} - 1}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- 2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right) + \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2} \log{\left (4 \right )}\right) \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} 4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4^(x/(1 - x^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} = 4^{- \frac{x}{- x^{2} + 1}}$$
- Нет
$$4^{\frac{x}{- x^{2} + 1}} = - 4^{- \frac{x}{- x^{2} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной