График функции y = (2*(x-1)^2*(x-4))^(1/3)

Вы ввели

          ____________________
       3 /          2         
f(x) = \/  2*(x - 1) *(x - 4) 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((2*(x - 1)^2)*(x - 4))^(1/3).
$$\sqrt[3]{-4 \cdot 2 \left(-1\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Точка:

(0, 2*(-1)^(1/3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x - 4} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{2 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(\frac{1}{3} \left(x - 4\right) \left(4 x - 4\right) + \frac{2}{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

      3 ____ 
(3, 2*\/ -1 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sqrt[3]{2} \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 4\right)^{\frac{2}{3}} \left(x - 1\right)} \left(- \frac{2 x - 6}{x - 1} + \frac{2 x - 4}{x - 1} + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} - \frac{x - 3}{x - 4}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}} = \infty \sqrt[3]{-2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((2*(x - 1)^2)*(x - 4))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{2 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = - \sqrt[3]{-2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \sqrt[3]{-2} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{2 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \sqrt[3]{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \sqrt[3]{2} x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- x - 4} \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right) 2 \left(x - 1\right)^{2}} = - \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- x - 4} \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной