График функции y = (2*x^2)/(1-4*x)

Вы ввели

            2 
         2*x  
f(x) = -------
       1 - 4*x

$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.25$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2)/(1 - 4*x).
$$\frac{2 \cdot 0^{2}}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{8 x^{2}}{\left(- 4 x + 1\right)^{2}} + \frac{4 x}{- 4 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(1/2, -1/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках

[0, 1/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [1/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{- 4 x + 1} \left(\frac{64 x^{2}}{\left(- 4 x + 1\right)^{2}} + \frac{32 x}{- 4 x + 1} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0.25$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2)/(1 - 4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- 4 x + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- 4 x + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{2}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1} = \frac{2 x^{2}}{4 x + 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x^{2}}{- 4 x + 1} = - \frac{2 x^{2}}{4 x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной