График функции y = 2*x^5-40*x^2+15

Вы ввели

          5       2     
f(x) = 2*x  - 40*x  + 15

$$f{\left (x \right )} = 2 x^{5} - 40 x^{2} + 15$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{5} - 40 x^{2} + 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение

False

False

False

Численное решение
$$x_{1} = 2.66580713846$$
$$x_{2} = 0.61598227002$$
$$x_{3} = -0.608944519092$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^5 - 40*x^2 + 15.
$$2 \cdot 0^{5} - 0 + 15$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 15$$
Точка:

(0, 15)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$10 x^{4} - 80 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 15)

(2, -81)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$40 \left(x^{3} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2**(1/3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2**(1/3)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{5} - 40 x^{2} + 15\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{5} - 40 x^{2} + 15\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^5 - 40*x^2 + 15, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{5} - 40 x^{2} + 15\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{5} - 40 x^{2} + 15\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{5} - 40 x^{2} + 15 = - 2 x^{5} - 40 x^{2} + 15$$
- Нет
$$2 x^{5} - 40 x^{2} + 15 = - -1 \cdot 2 x^{5} - - 40 x^{2} - 15$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной