График функции y = 2*x^3+3*x^2-12*x+5

Вы ввели

          3      2           
f(x) = 2*x  + 3*x  - 12*x + 5

$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{6}$$
$$x_{3} = - \sqrt{6} - 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.44948974278318$$
$$x_{2} = 1.44948974278318$$
$$x_{3} = 0.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 5.
$$2 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 5$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 25)

(1, -2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5 = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 5$$
- Нет
$$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x - 5$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График