График функции y = (20*x+11)/((x^2)+8*x-9)

Вы ввели

        20*x + 11  
f(x) = ------------
        2          
       x  + 8*x - 9

$$f{\left (x \right )} = \frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{11}{20}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.55$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (20*x + 11)/(x^2 + 8*x - 9).
$$\frac{0 \cdot 20 + 11}{-9 + 0^{2} + 0 \cdot 8}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{11}{9}$$
Точка:

(0, -11/9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(- 2 x - 8\right) \left(20 x + 11\right)}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} + \frac{20}{x^{2} + 8 x - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} \left(- 120 x + \frac{8 \left(x + 4\right)^{2} \left(20 x + 11\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 342\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{13 \sqrt[3]{403}}{20} - \frac{11}{20} + \frac{403^{\frac{2}{3}}}{20}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -9^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} \left(- 120 x + \frac{8 \left(x + 4\right)^{2} \left(20 x + 11\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 342\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} \left(- 120 x + \frac{8 \left(x + 4\right)^{2} \left(20 x + 11\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 342\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -9$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} \left(- 120 x + \frac{8 \left(x + 4\right)^{2} \left(20 x + 11\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 342\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} + 8 x - 9\right)^{2}} \left(- 120 x + \frac{8 \left(x + 4\right)^{2} \left(20 x + 11\right)}{x^{2} + 8 x - 9} - 342\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -13*403**(1/3)/20 - 11/20 + 403**(2/3)/20]

Выпуклая на промежутках

[-13*403**(1/3)/20 - 11/20 + 403**(2/3)/20, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (20*x + 11)/(x^2 + 8*x - 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{20 x + 11}{x \left(x^{2} + 8 x - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x + 11}{x \left(x^{2} + 8 x - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9} = \frac{- 20 x + 11}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- Нет
$$\frac{20 x + 11}{x^{2} + 8 x - 9} = - \frac{- 20 x + 11}{x^{2} - 8 x - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной