График функции y = e^(2*(x-1))/2*(x-1)

Вы ввели

        2*(x - 1)        
       e         *(x - 1)
f(x) = ------------------
               2         

$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -38.5244692579679$$
$$x_{2} = -92.4262826664454$$
$$x_{3} = -56.4686132524805$$
$$x_{4} = -20.7185017258284$$
$$x_{5} = -62.4578471989128$$
$$x_{6} = -88.429174285909$$
$$x_{7} = -78.437787586974$$
$$x_{8} = -48.487646689892$$
$$x_{9} = -24.6424295706756$$
$$x_{10} = -84.432358283505$$
$$x_{11} = -50.482252767615$$
$$x_{12} = -36.5347052738485$$
$$x_{13} = -28.5937393694414$$
$$x_{14} = -58.464753641239$$
$$x_{15} = -30.5753760558308$$
$$x_{16} = -104.419007861607$$
$$x_{17} = -14.9806772001439$$
$$x_{18} = -68.4491316757143$$
$$x_{19} = -60.4611748339881$$
$$x_{20} = -18.7755860151928$$
$$x_{21} = 1$$
$$x_{22} = -22.6757451532018$$
$$x_{23} = -82.4340741575283$$
$$x_{24} = -108.416959055435$$
$$x_{25} = -52.4773187883893$$
$$x_{26} = -54.4727881654018$$
$$x_{27} = -64.454745139734$$
$$x_{28} = -72.4441880676345$$
$$x_{29} = -110.41599309682$$
$$x_{30} = -44.5000993631074$$
$$x_{31} = -32.5597813171015$$
$$x_{32} = -90.4276945075164$$
$$x_{33} = -16.8562161179393$$
$$x_{34} = -80.4358814217583$$
$$x_{35} = -76.439801011308$$
$$x_{36} = -86.4307270314252$$
$$x_{37} = -66.4518464300967$$
$$x_{38} = -94.4249341851903$$
$$x_{39} = -100.421228908762$$
$$x_{40} = -70.4465838765021$$
$$x_{41} = -106.417963206245$$
$$x_{42} = -42.5073396063464$$
$$x_{43} = -26.6156935676912$$
$$x_{44} = -98.4224109614399$$
$$x_{45} = -74.4419310233885$$
$$x_{46} = -46.4935682921138$$
$$x_{47} = -96.4236448887784$$
$$x_{48} = -40.5154118585931$$
$$x_{49} = -34.5463680381357$$
$$x_{50} = -102.420095524533$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(2*(x - 1*1))*(x - 1*1)/2.
$$\frac{\left(-1\right) 1 + 0}{2 e^{- 2 \left(\left(-1\right) 1 + 0\right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2 e^{2}}$$
Точка:

(0, -exp(-2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x - 1\right) e^{2 x - 2} + \frac{e^{2 x - 2}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

                 1 - 2*1 
      (1/2 - 1)*e        
(1/2, ------------------)
              2          

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\left(x - 1\right) e^{2 x - 2} + e^{2 \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(2*(x - 1*1))*(x - 1*1)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{2 x - 2}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{2 x - 2}}{2 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2} = \frac{\left(- x - 1\right) e^{- 2 x - 2}}{2}$$
- Нет
$$\frac{\left(x - 1\right) e^{2 \left(x - 1\right)}}{2} = - \frac{\left(- x - 1\right) e^{- 2 x - 2}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График