График функции y = e^(|x-1|)*((x)^(1/3))*(1/2)

Вы ввели

        |x - 1| 3 ___
       E       *\/ x 
f(x) = --------------
             2       

$$f{\left (x \right )} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (E^|x - 1|*x^(1/3))/2.
$$\frac{\sqrt[3]{0} e^{\left|{-1}\right|}}{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|} \operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )} + \frac{e^{\left|{x - 1}\right|}}{6 x^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.333333333333$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.333333333333, 0.675241678400891)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0.333333333333$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0.333333333333]

Возрастает на промежутках

[0.333333333333, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left (\sqrt[3]{-1} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (E^|x - 1|*x^(1/3))/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\left|{x - 1}\right|}}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\left|{x - 1}\right|}}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|} = \frac{\sqrt[3]{- x}}{2} e^{\left|{x + 1}\right|}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{2} e^{\left|{x - 1}\right|} = - \frac{\sqrt[3]{- x}}{2} e^{\left|{x + 1}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной