График функции y = cbrt((x-1)*(x^2-2*x-2))

Вы ввели

          ________________________
       3 /         / 2          \ 
f(x) = \/  (x - 1)*\x  - 2*x - 2/ 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 - \sqrt[6]{-1} + \left(-1\right)^{\frac{5}{6}}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 1)*(x^2 - 2*x - 2))^(1/3).
$$\sqrt[3]{- -2 + 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt[3]{2}$$
Точка:

(0, 2^(1/3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)}}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} \left(\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \left(x - 1\right) \left(2 x - 2\right) - \frac{2}{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

    3 ___ 
(0, \/ 2 )

    3 ____ 
(2, \/ -2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sqrt[3]{- \left(x - 1\right) \left(- x^{2} + 2 x + 2\right)}}{- x^{2} + 2 x + 2} \left(-2 - \frac{2 x^{2} - 4 x + 4 \left(x - 1\right)^{2} - 4}{- 3 x^{2} + 6 x + 6} + \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{2}} \left(x^{2} - 2 x + 2 \left(x - 1\right)^{2} - 2\right) + \frac{\left(x^{2} - 2 x + 2 \left(x - 1\right)^{2} - 2\right)^{2}}{9 \left(x - 1\right)^{2} \left(- x^{2} + 2 x + 2\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1)*(x^2 - 2*x - 2))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} = \sqrt[3]{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x - 2\right)}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 2\right)} = - \sqrt[3]{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x - 2\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной