График функции y = (-3*x^2+13*x+126)/(x-9)

Вы ввели

            2             
       - 3*x  + 13*x + 126
f(x) = -------------------
              x - 9       

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 9$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{14}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -4.66666666667$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-3*x^2 + 13*x + 126)/(x - 9).
$$\frac{1}{-9} \left(- 0 + 0 \cdot 13 + 126\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -14$$
Точка:

(0, -14)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 6 x + 13}{x - 9} - \frac{1}{\left(x - 9\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 9} \left(-6 + \frac{12 x - 26}{x - 9} + \frac{1}{\left(x - 9\right)^{2}} \left(- 6 x^{2} + 26 x + 252\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 9$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-3*x^2 + 13*x + 126)/(x - 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 13 x + 126}{x \left(x - 9\right)}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 13 x + 126}{x \left(x - 9\right)}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 3 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right) = \frac{- 3 x^{2} - 13 x + 126}{- x - 9}$$
- Нет
$$\frac{1}{x - 9} \left(- 3 x^{2} + 13 x + 126\right) = - \frac{- 3 x^{2} - 13 x + 126}{- x - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной