График функции y = -3*x^5+50*x^3-135*x

Вы ввели

            5       3        
f(x) = - 3*x  + 50*x  - 135*x

$$f{\left(x \right)} = - 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{25}{3} - \frac{2 \sqrt{55}}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{25}{3} - \frac{2 \sqrt{55}}{3}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{\frac{2 \sqrt{55}}{3} + \frac{25}{3}}$$
$$x_{5} = \sqrt{\frac{2 \sqrt{55}}{3} + \frac{25}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.84097827488618$$
$$x_{2} = -1.84097827488618$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 3.64382568985727$$
$$x_{5} = -3.64382568985727$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*x^5 + 50*x^3 - 135*x.
$$- 3 \cdot 0^{5} + 50 \cdot 0^{3} - 135 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 15 x^{4} + 150 x^{2} - 135 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, -216)

(-1, 88)

(1, -88)

(3, 216)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[-3, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$60 x \left(5 - x^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*x^5 + 50*x^3 - 135*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x = 3 x^{5} - 50 x^{3} + 135 x$$
- Нет
$$- 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x = - 3 x^{5} + 50 x^{3} - 135 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График