График функции y = (|x|)-(|2*x+4|)

Вы ввели

f(x) = |x| - |2*x + 4|

$$f{\left (x \right )} = \left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.33333333333$$
$$x_{2} = -4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x| - |2*x + 4|.
$$- \left|{0 \cdot 2 + 4}\right| + \left|{0}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x \right )} - 2 \operatorname{sign}{\left (2 x + 4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x| - |2*x + 4|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right|\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right|\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right| = \left|{x}\right| - \left|{2 x - 4}\right|$$
- Нет
$$\left|{x}\right| - \left|{2 x + 4}\right| = - \left|{x}\right| - - \left|{2 x - 4}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной