График функции y = (1/6)*x^3-12*x

Вы ввели

        3       
       x        
f(x) = -- - 12*x
       6        

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3}}{6} - 12 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{6} - 12 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 6 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 6 \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 8.48528137424$$
$$x_{3} = -8.48528137424$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/6 - 12*x.
$$\frac{0^{3}}{6} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x^{2}}{2} - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___       ___ 
(-2*\/ 6, 16*\/ 6 )

     ___        ___ 
(2*\/ 6, -16*\/ 6 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \sqrt{6}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2*sqrt(6)] U [2*sqrt(6), oo)

Возрастает на промежутках

[-2*sqrt(6), 2*sqrt(6)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{6} - 12 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{6} - 12 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/6 - 12*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{3}}{6} - 12 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{3}}{6} - 12 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{6} - 12 x = - \frac{x^{3}}{6} + 12 x$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{6} - 12 x = - \frac{-1 x^{3}}{6} - 12 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной