График функции y = 1/3*x^3+1/2*x^2-2*x-2

Вы ввели

        3    2          
       x    x           
f(x) = -- + -- - 2*x - 2
       3    2           

$$f{\left (x \right )} = - 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{11}{8} + \frac{\sqrt{38} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{11}{8} + \frac{\sqrt{38} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.86358007093$$
$$x_{2} = -0.918246506684$$
$$x_{3} = 2.28182657762$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 2.
$$-2 + \frac{0^{3}}{3} + \frac{0^{2}}{2} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:

(0, -2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 4/3)

(1, -19/6)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-2, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x - 2$$
- Нет
$$- 2 x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной