График функции y = (16)/((x^3)-4*x)

Вы ввели

          16   
f(x) = --------
        3      
       x  - 4*x

$$f{\left (x \right )} = \frac{16}{x^{3} - 4 x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{16}{x^{3} - 4 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 16/(x^3 - 4*x).
$$\frac{16}{0^{3} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 48 x^{2} + 64}{\left(x^{3} - 4 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___          
 -2*\/ 3       ___ 
(--------, 3*\/ 3 )
    3              

     ___           
 2*\/ 3        ___ 
(-------, -3*\/ 3 )
    3              

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

[-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(x^{2} - 4\right)^{2}} \left(-96 + \frac{32 \left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{16}{x^{3} - 4 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16}{x^{3} - 4 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 16/(x^3 - 4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{16}{x \left(x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16}{x \left(x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{16}{x^{3} - 4 x} = \frac{16}{- x^{3} + 4 x}$$
- Нет
$$\frac{16}{x^{3} - 4 x} = - \frac{16}{- x^{3} + 4 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной