График функции y = (16-x^2)/(16+x^2)

Вы ввели

             2
       16 - x 
f(x) = -------
             2
       16 + x 

$$f{\left (x \right )} = \frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (16 - x^2)/(16 + x^2).
$$\frac{- 0 + 16}{0^{2} + 16}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(- x^{2} + 16\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 16} \left(- \frac{8 x^{2} \left(x^{2} - 16\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 16} + \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} + 16} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)/3] U [4*sqrt(3)/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-4*sqrt(3)/3, 4*sqrt(3)/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (16 - x^2)/(16 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16} = \frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16}$$
- Да
$$\frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16} = - \frac{- x^{2} + 16}{x^{2} + 16}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной