График функции y = (3-x)^3/(2*(2-x))

Вы ввели

               3
        (3 - x) 
f(x) = ---------
       2*(2 - x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3 - x)^3/(2*(2 - x)).
$$\frac{\left(- 0 + 3\right)^{3}}{2 \left(- 0 + 2\right)}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{27}{4}$$
Точка:

(0, 27/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 \left(- x + 3\right)^{2}}{- 2 x + 4} + \frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3/2, 27/8)

(3, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(x - 3\right) \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x - 9}{x - 2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x - 2} \left(x - 3\right) \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x - 9}{x - 2} + 3\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x - 2} \left(x - 3\right) \left(\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x - 9}{x - 2} + 3\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)^3/(2*(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} \frac{1}{- x + 2} \left(- x + 3\right)^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} \frac{1}{- x + 2} \left(- x + 3\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)} = \frac{\left(x + 3\right)^{3}}{2 x + 4}$$
- Нет
$$\frac{\left(- x + 3\right)^{3}}{2 \left(- x + 2\right)} = - \frac{\left(x + 3\right)^{3}}{2 x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной