График функции y = 8*cos(x)+sin(7*x)-16*x

Вы ввели

f(x) = 8*cos(x) + sin(7*x) - 16*x

$$f{\left(x \right)} = - 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.449817574118716$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 8*cos(x) + sin(7*x) - 16*x.
$$- 0 + \left(\sin{\left(0 \cdot 7 \right)} + 8 \cos{\left(0 \right)}\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 8$$
Точка:

(0, 8)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 8 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(7 x \right)} - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (49 \sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*cos(x) + sin(7*x) - 16*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -16$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 16 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -16$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 16 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right) = 16 x - \sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$- 16 x + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right) = - 16 x + \sin{\left(7 x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График