График функции y = (x-4)/(x^3-64)

Вы ввели

        x - 4 
f(x) = -------
        3     
       x  - 64

$$f{\left (x \right )} = \frac{x - 4}{x^{3} - 64}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 4}{x^{3} - 64} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 4)/(x^3 - 64).
$$- \frac{4}{-64 + 0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{16}$$
Точка:

(0, 1/16)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{2} \left(x - 4\right)}{\left(x^{3} - 64\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} - 64} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 1/12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2]

Возрастает на промежутках

[-2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{6 x}{\left(x^{3} - 64\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3} \left(x - 4\right)}{x^{3} - 64} - 2 x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 4$$

$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{6 x}{\left(x^{3} - 64\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3} \left(x - 4\right)}{x^{3} - 64} - 2 x + 4\right)\right) = 0.00173611111111111$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{6 x}{\left(x^{3} - 64\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3} \left(x - 4\right)}{x^{3} - 64} - 2 x + 4\right)\right) = 0.00173611111111111$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -4] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках

[-4, 0]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 4$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x^{3} - 64}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x^{3} - 64}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 4)/(x^3 - 64), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x \left(x^{3} - 64\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x \left(x^{3} - 64\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 4}{x^{3} - 64} = \frac{- x - 4}{- x^{3} - 64}$$
- Нет
$$\frac{x - 4}{x^{3} - 64} = - \frac{- x - 4}{- x^{3} - 64}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной