График функции y = (x-12)*sqrt(x)

Вы ввели

                  ___
f(x) = (x - 12)*\/ x 

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} \left(x - 12\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при ChainedEq(f, 0)
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 12$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 12$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1*12)*sqrt(x).
$$\sqrt{0} \left(\left(-1\right) 12 + 0\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sqrt{x} + \frac{x - 12}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(4, 8 - 2*12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{1 - \frac{x - 12}{4 x}}{\sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 12\right)\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 12\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*12)*sqrt(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 12}{\sqrt{x}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 12}{\sqrt{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = \sqrt{- x} \left(- x - 12\right)$$
- Нет
$$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = - \sqrt{- x} \left(- x - 12\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График