График функции y = (x-1)*e^(3*x+1)

Вы ввели

                3*x + 1
f(x) = (x - 1)*E       

$$f{\left (x \right )} = e^{3 x + 1} \left(x - 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{3 x + 1} \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -19.016317116$$
$$x_{2} = -62.9066035287$$
$$x_{3} = -38.9327690325$$
$$x_{4} = -30.9515939059$$
$$x_{5} = -106.890087329$$
$$x_{6} = -58.9093980526$$
$$x_{7} = -22.9858493249$$
$$x_{8} = -36.9366344905$$
$$x_{9} = -50.9163930752$$
$$x_{10} = -104.890528214$$
$$x_{11} = -100.891464091$$
$$x_{12} = -44.9234015037$$
$$x_{13} = -34.9409892537$$
$$x_{14} = -40.9293146288$$
$$x_{15} = -56.910951405$$
$$x_{16} = -17.0384287747$$
$$x_{17} = -54.9126249353$$
$$x_{18} = -20.9993264203$$
$$x_{19} = -92.8935860328$$
$$x_{20} = 1$$
$$x_{21} = -70.9020048413$$
$$x_{22} = -66.9041598631$$
$$x_{23} = -82.896836989$$
$$x_{24} = -11.1803054803$$
$$x_{25} = -15.0684532551$$
$$x_{26} = -78.8983776762$$
$$x_{27} = -90.8941769574$$
$$x_{28} = -86.8954434595$$
$$x_{29} = -80.8975875178$$
$$x_{30} = -46.9208513569$$
$$x_{31} = -76.89921069$$
$$x_{32} = -42.9262089004$$
$$x_{33} = -64.9053421056$$
$$x_{34} = -98.8919613429$$
$$x_{35} = -96.8924798053$$
$$x_{36} = -52.9144331693$$
$$x_{37} = -32.9459328554$$
$$x_{38} = -28.9581416012$$
$$x_{39} = -68.9030495676$$
$$x_{40} = -24.974891452$$
$$x_{41} = -102.890986773$$
$$x_{42} = -94.893020865$$
$$x_{43} = -26.9658032004$$
$$x_{44} = -60.9079523701$$
$$x_{45} = -84.8961231801$$
$$x_{46} = -74.900090145$$
$$x_{47} = -72.9010200387$$
$$x_{48} = -13.1117508531$$
$$x_{49} = -48.9185246005$$
$$x_{50} = -88.8947954414$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)*E^(3*x + 1).
$$- e^{0 \cdot 3 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - e$$
Точка:

(0, -E)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{3 x + 1} + 3 \left(x - 1\right) e^{3 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

        3  
      -e   
(2/3, ----)
       3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(3 x - 1\right) e^{3 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{3 x + 1} \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x + 1} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)*E^(3*x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right) e^{3 x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right) e^{3 x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{3 x + 1} \left(x - 1\right) = \left(- x - 1\right) e^{- 3 x + 1}$$
- Нет
$$e^{3 x + 1} \left(x - 1\right) = - \left(- x - 1\right) e^{- 3 x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной