График функции y = (x-1)^2/(x^2+1)

Вы ввели

              2
       (x - 1) 
f(x) = --------
         2     
        x  + 1 

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.00000052382$$
$$x_{2} = 0.999999619347$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)^2/(x^2 + 1).
$$\frac{\left(-1\right)^{2}}{0^{2} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 2)

(1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-1, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(\frac{8 x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} + 1} - \frac{2 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(3)] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [sqrt(3), oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)^2/(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} = \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} = - \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной