График функции y = (x-7)^3/(x-1)*(x-13)

Вы ввели

              3         
       (x - 7)          
f(x) = --------*(x - 13)
        x - 1           

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 13$$
Численное решение
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 13$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 7)^3/(x - 1))*(x - 13).
$$-13 \frac{\left(-7\right)^{3}}{-1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4459$$
Точка:

(0, -4459)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 13\right) \left(- \frac{\left(x - 7\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(x - 7\right)^{2}}{x - 1}\right) + \frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 5 + 2 \sqrt{10}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{10} + 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(7, 0)

                              3                 
               /         ____\  /         ____\ 
         ____  \-2 + 2*\/ 10 / *\-8 + 2*\/ 10 / 
(5 + 2*\/ 10, --------------------------------)
                                 ____           
                         4 + 2*\/ 10            

                              3                 
               /         ____\  /         ____\ 
         ____  \-2 - 2*\/ 10 / *\-8 - 2*\/ 10 / 
(5 - 2*\/ 10, --------------------------------)
                                 ____           
                         4 - 2*\/ 10            

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 5 + 2 \sqrt{10}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - 2 \sqrt{10} + 5$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2*sqrt(10) + 5] U [5 + 2*sqrt(10), oo)

Возрастает на промежутках

[-2*sqrt(10) + 5, 5 + 2*sqrt(10)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x - 1} \left(x - 7\right) \left(3 x + \left(x - 13\right) \left(\frac{\left(x - 7\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x - 21}{x - 1} + 3\right) - \frac{\left(x - 7\right)^{2}}{x - 1} - 21\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = \frac{88}{9 \sqrt[3]{8 \sqrt{113} + \frac{2440}{27}}} + \frac{7}{3} + \sqrt[3]{8 \sqrt{113} + \frac{2440}{27}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2}{x - 1} \left(x - 7\right) \left(3 x + \left(x - 13\right) \left(\frac{\left(x - 7\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x - 21}{x - 1} + 3\right) - \frac{\left(x - 7\right)^{2}}{x - 1} - 21\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{x - 1} \left(x - 7\right) \left(3 x + \left(x - 13\right) \left(\frac{\left(x - 7\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x - 21}{x - 1} + 3\right) - \frac{\left(x - 7\right)^{2}}{x - 1} - 21\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 7] U [88/(9*(8*sqrt(113) + 2440/27)**(1/3)) + 7/3 + (8*sqrt(113) + 2440/27)**(1/3), oo)

Выпуклая на промежутках

[7, 88/(9*(8*sqrt(113) + 2440/27)**(1/3)) + 7/3 + (8*sqrt(113) + 2440/27)**(1/3)]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 7)^3/(x - 1))*(x - 13), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 13\right) \left(x - 7\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 13\right) \left(x - 7\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right) = \frac{\left(- x - 13\right) \left(- x - 7\right)^{3}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\left(x - 7\right)^{3}}{x - 1} \left(x - 13\right) = - \frac{\left(- x - 13\right) \left(- x - 7\right)^{3}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной