График функции y = (x-3)*(x^2-4)

Вы ввели

               / 2    \
f(x) = (x - 3)*\x  - 4/

$$f{\left (x \right )} = \left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 3)*(x^2 - 4).
$$- 3 \left(-4 + 0^{2}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 12$$
Точка:

(0, 12)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + 2 x \left(x - 3\right) - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} + 1$$
Зн. экстремумы в точках:

             /                 2\               
       ____  |     /      ____\ | /       ____\ 
     \/ 21   |     |    \/ 21 | | |     \/ 21 | 
(1 + ------, |-4 + |1 + ------| |*|-2 + ------|)
       3     \     \      3   / / \       3   / 

             /                 2\               
       ____  |     /      ____\ | /       ____\ 
     \/ 21   |     |    \/ 21 | | |     \/ 21 | 
(1 - ------, |-4 + |1 - ------| |*|-2 - ------|)
       3     \     \      3   / / \       3   / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} + 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(21)/3 + 1] U [1 + sqrt(21)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(21)/3 + 1, 1 + sqrt(21)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 3)*(x^2 - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = \left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$
- Нет
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = - \left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной