График функции y = (x+1)*(x+2)*(x+3)

Вы ввели

f(x) = (x + 1)*(x + 2)*(x + 3)

$$f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x + 1)*(x + 2))*(x + 3).
$$2 \cdot 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:

(0, 6)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

                    /      ___\ /       ___\  
                ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 |  
        ___  -\/ 3 *|1 - -----|*|-1 - -----|  
      \/ 3          \      3  / \       3  /  
(-2 - -----, --------------------------------)
        3                   3                 

                   /      ___\ /       ___\ 
               ___ |    \/ 3 | |     \/ 3 | 
        ___  \/ 3 *|1 + -----|*|-1 + -----| 
      \/ 3         \      3  / \       3  / 
(-2 + -----, ------------------------------)
        3                  3                

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2 - sqrt(3)/3] U [-2 + sqrt(3)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-2 - sqrt(3)/3, -2 + sqrt(3)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x + 1)*(x + 2))*(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = \left(- x + 1\right) \left(- x + 2\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = - \left(- x + 1\right) \left(- x + 2\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной