График функции y = (x+3)/(1-2*x)+1

Вы ввели

        x + 3     
f(x) = ------- + 1
       1 - 2*x    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 3)/(1 - 2*x) + 1.
$$1 + \frac{3}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 6}{\left(- 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{- 2 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 + \frac{8 x + 24}{- 2 x + 1}}{\left(- 2 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0.5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{1}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 3)/(1 - 2*x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1 = \frac{- x + 3}{2 x + 1} + 1$$
- Нет
$$\frac{x + 3}{- 2 x + 1} + 1 = - \frac{- x + 3}{2 x + 1} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной