График функции y = x+3/x-4/x^2

Вы ввели

           3   4 
f(x) = x + - - --
           x    2
               x 

$$f{\left(x \right)} = x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.00000000000003$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + 3/x - 4/(x^2).
$$0 + \frac{3}{0} - \frac{4}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                             _________________                                                                                                                                 _________________ 
                          3 /            ____                                                                                                                               3 /            ____  
            3             \/  108 + 27*\/ 15                             4                                    3                                   3                         \/  108 + 27*\/ 15   
(- -------------------- - --------------------, - ------------------------------------------------ - -------------------- + --------------------------------------------- - --------------------)
      _________________            3                                                             2      _________________                               _________________            3           
   3 /            ____                            /                            _________________\    3 /            ____                             3 /            ____                         
   \/  108 + 27*\/ 15                             |                         3 /            ____ |    \/  108 + 27*\/ 15                3             \/  108 + 27*\/ 15                          
                                                  |           3             \/  108 + 27*\/ 15  |                           - -------------------- - --------------------                        
                                                  |- -------------------- - --------------------|                                _________________            3                                  
                                                  |     _________________            3          |                             3 /            ____                                                
                                                  |  3 /            ____                        |                             \/  108 + 27*\/ 15                                                 
                                                  \  \/  108 + 27*\/ 15                         /                                                                                                

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 3/x - 4/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = - x - \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x}$$
- Нет
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = x + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График