График функции y = x*(2)^(1/2)+x

Вы ввели

           ___    
f(x) = x*\/ 2  + x

$$f{\left (x \right )} = x + \sqrt{2} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \sqrt{2} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(2) + x.
$$0 \sqrt{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 + \sqrt{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \sqrt{2} x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sqrt{2} x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(2) + x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sqrt{2} x\right)\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \left(1 + \sqrt{2}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sqrt{2} x\right)\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \left(1 + \sqrt{2}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \sqrt{2} x = - \sqrt{2} x - x$$
- Нет
$$x + \sqrt{2} x = - -1 x - - \sqrt{2} x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной