График функции y = x*e^((1/2)-(1/2)*x^2)

Вы ввели

               2
          1   x 
          - - --
          2   2 
f(x) = x*E      

$$f{\left (x \right )} = e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 30.9158612892$$
$$x_{2} = 13.8305646214$$
$$x_{3} = 46.687776283$$
$$x_{4} = 56.610416173$$
$$x_{5} = -88.2228929179$$
$$x_{6} = 28.9620890166$$
$$x_{7} = -19.0686408223$$
$$x_{8} = 23.1487959087$$
$$x_{9} = -17.1969684851$$
$$x_{10} = -70.2800343339$$
$$x_{11} = -100.196193169$$
$$x_{12} = -26.7467597909$$
$$x_{13} = 52.6378406446$$
$$x_{14} = -96.2043534607$$
$$x_{15} = -36.5420283825$$
$$x_{16} = 42.7288452403$$
$$x_{17} = -90.2179499985$$
$$x_{18} = 19.3379596245$$
$$x_{19} = 64.5657397622$$
$$x_{20} = 40.7523965392$$
$$x_{21} = -34.5735053917$$
$$x_{22} = 88.4800986212$$
$$x_{23} = -13.5703851876$$
$$x_{24} = 10.481055118$$
$$x_{25} = -42.4653421913$$
$$x_{26} = 38.7783713447$$
$$x_{27} = -94.2086933283$$
$$x_{28} = 50.6531744085$$
$$x_{29} = 48.6697660203$$
$$x_{30} = 98.4567232107$$
$$x_{31} = -52.3764545426$$
$$x_{32} = -66.2969435075$$
$$x_{33} = 62.5758396531$$
$$x_{34} = 25.0766626197$$
$$x_{35} = 36.8071620517$$
$$x_{36} = 84.4909972103$$
$$x_{37} = 86.4854219951$$
$$x_{38} = -50.3914159607$$
$$x_{39} = 66.5562459809$$
$$x_{40} = -22.8793491122$$
$$x_{41} = 7.83657923191$$
$$x_{42} = 96.4610108265$$
$$x_{43} = 9.02289694338$$
$$x_{44} = 100.452606222$$
$$x_{45} = 70.5388712183$$
$$x_{46} = 27.0151495573$$
$$x_{47} = 17.4651020096$$
$$x_{48} = 58.5981051512$$
$$x_{49} = -84.2334824941$$
$$x_{50} = -44.4443699549$$
$$x_{51} = 78.5094259967$$
$$x_{52} = -60.3265078154$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = 21.2345123835$$
$$x_{55} = 94.4654798903$$
$$x_{56} = 76.5162106782$$
$$x_{57} = -80.2451271075$$
$$x_{58} = 90.4750104191$$
$$x_{59} = 15.6247818795$$
$$x_{60} = 44.7073945322$$
$$x_{61} = 32.8752332341$$
$$x_{62} = -30.6488081209$$
$$x_{63} = -86.2280649853$$
$$x_{64} = 82.4968425477$$
$$x_{65} = -46.4252005911$$
$$x_{66} = -32.6088462722$$
$$x_{67} = 12.1040591365$$
$$x_{68} = -11.8535751456$$
$$x_{69} = -20.9648808652$$
$$x_{70} = 68.5473054355$$
$$x_{71} = -28.6943596044$$
$$x_{72} = -54.36259182$$
$$x_{73} = -72.272280795$$
$$x_{74} = 80.5029780991$$
$$x_{75} = -78.2513955147$$
$$x_{76} = -74.2649444149$$
$$x_{77} = 72.5309015704$$
$$x_{78} = 60.5866054707$$
$$x_{79} = -62.3160212978$$
$$x_{80} = -58.337712425$$
$$x_{81} = -15.3593372555$$
$$x_{82} = 74.523359195$$
$$x_{83} = -40.4883834668$$
$$x_{84} = -64.3061861109$$
$$x_{85} = -38.5138150498$$
$$x_{86} = -92.2132213431$$
$$x_{87} = -82.2391633181$$
$$x_{88} = -48.4076116917$$
$$x_{89} = -10.2479603142$$
$$x_{90} = -76.2579924561$$
$$x_{91} = -68.2882415885$$
$$x_{92} = -8.82065718477$$
$$x_{93} = -98.2001902621$$
$$x_{94} = 34.839250208$$
$$x_{95} = 54.6236272879$$
$$x_{96} = 92.4701421573$$
$$x_{97} = -56.3497113142$$
$$x_{98} = -24.8076741592$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(1/2 - x^2/2).
$$0 e^{- 0 + \frac{1}{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1)

(1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках

[-1, 1]

Возрастает на промежутках

(-oo, -1] U [1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x \left(x^{2} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(3), 0] U [sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(3)] U [0, sqrt(3)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(1/2 - x^2/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x = - x e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}}$$
- Нет
$$e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}} x = - -1 x e^{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной