График функции y = (x^4)-(12*x^3)+(48*x^2)-50

Вы ввели

        4       3       2     
f(x) = x  - 12*x  + 48*x  - 50

$$f{\left (x \right )} = 48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462} - \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 8 + \frac{144}{\sqrt{4 + \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}}}} + 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462} - \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 8 + \frac{144}{\sqrt{4 + \frac{284}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{86991}}{9} + 462}}}} + 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.914334836908$$
$$x_{2} = 1.19348000147$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 12*x^3 + 48*x^2 - 50.
$$-50 + 0^{4} - 0 + 48 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -50$$
Точка:

(0, -50)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -50)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(x^{2} - 6 x + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2] U [4, oo)

Выпуклая на промежутках

[2, 4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 12*x^3 + 48*x^2 - 50, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50 = x^{4} + 12 x^{3} + 48 x^{2} - 50$$
- Нет
$$48 x^{2} + x^{4} - 12 x^{3} - 50 = - x^{4} - 12 x^{3} - 48 x^{2} + 50$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной