График функции y = (x^2-4)/(|x^2-4|)

Вы ввели

         2     
        x  - 4 
f(x) = --------
       | 2    |
       |x  - 4|

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 4)/|x^2 - 4|.
$$\frac{-4 + 0^{2}}{\left|{-4 + 0^{2}}\right|}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 4)/|x^2 - 4|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left|{x^{2} - 4}\right|}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|} = \frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|} = - \frac{x^{2} - 4}{\left|{x^{2} - 4}\right|}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной