График функции y = (x^2-4)*x/(x-2)*(x+1)

Вы ввели

       / 2    \          
       \x  - 4/*x        
f(x) = ----------*(x + 1)
         x - 2           

$$f{\left (x \right )} = \frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (((x^2 - 4)*x)/(x - 2))*(x + 1).
$$\frac{0}{-2} \left(-4 + 0^{2}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} + \left(x + 1\right) \left(- \frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 4}{x - 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                 /                 2\  
                    /       ___\ |     /       ___\ |  
                ___ |     \/ 3 | |     |     \/ 3 | |  
        ___  -\/ 3 *|-1 - -----|*|-4 + |-1 - -----| |  
      \/ 3          \       3  / \     \       3  / /  
(-1 - -----, -----------------------------------------)
        3                    /       ___\              
                             |     \/ 3 |              
                           3*|-3 - -----|              
                             \       3  /              

                                /                 2\ 
                   /       ___\ |     /       ___\ | 
               ___ |     \/ 3 | |     |     \/ 3 | | 
        ___  \/ 3 *|-1 + -----|*|-4 + |-1 + -----| | 
      \/ 3         \       3  / \     \       3  / / 
(-1 + -----, ---------------------------------------)
        3                   /       ___\             
                            |     \/ 3 |             
                          3*|-3 + -----|             
                            \       3  /             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1 - sqrt(3)/3] U [-1 + sqrt(3)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-1 - sqrt(3)/3, -1 + sqrt(3)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} - \left(x + 1\right) \left(\frac{2 x^{2}}{x - 2} - 6 x - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{x^{2} - 4}{x - 2} + \frac{3 x^{2} - 4}{x - 2}\right) - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x - 2} \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} - \left(x + 1\right) \left(\frac{2 x^{2}}{x - 2} - 6 x - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{x^{2} - 4}{x - 2} + \frac{3 x^{2} - 4}{x - 2}\right) - 8\right)\right) = 18$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x - 2} \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} - \left(x + 1\right) \left(\frac{2 x^{2}}{x - 2} - 6 x - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{x^{2} - 4}{x - 2} + \frac{3 x^{2} - 4}{x - 2}\right) - 8\right)\right) = 18$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (((x^2 - 4)*x)/(x - 2))*(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right) = - \frac{x \left(- x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2} \left(x + 1\right) = - \frac{1}{- x - 2} \left(-1 x \left(- x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right)\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной