График функции y = (x^2-2*x-3)/(x+3)

Вы ввели

        2          
       x  - 2*x - 3
f(x) = ------------
          x + 3    

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 2*x - 1*3)/(x + 3).
$$\frac{\left(-1\right) 3 + 0^{2} - 2 \cdot 0}{0 + 3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x - 2}{x + 3} - \frac{x^{2} - 2 x - 3}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
Зн. экстремумы в точках:

                     /                      2          \ 
                 ___ |        /         ___\        ___| 
          ___  \/ 3 *\6 - 3 + \-3 + 2*\/ 3 /  - 4*\/ 3 / 
(-3 + 2*\/ 3, -----------------------------------------)
                                   6                     

                      /                      2          \  
                  ___ |        /         ___\        ___|  
          ___  -\/ 3 *\6 - 3 + \-3 - 2*\/ 3 /  + 4*\/ 3 /  
(-3 - 2*\/ 3, -------------------------------------------)
                                    6                      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3} - 3\right] \cup \left[-3 + 2 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{3} - 3, -3 + 2 \sqrt{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 3} + 1 - \frac{- x^{2} + 2 x + 3}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 2*x - 1*3)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 - x}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 - x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График