График функции y = (x^2-3*x)/(x^2-4)

Вы ввели

        2      
       x  - 3*x
f(x) = --------
         2     
        x  - 4 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x)/(x^2 - 4).
$$\frac{0^{2} - 0}{-4 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - 3 x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 4} \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3} 5^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 2\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 2\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 2\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \left(\frac{8 x^{3} \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 2\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2*5**(2/3)/3 + 2*5**(1/3)/3 + 4/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*5**(2/3)/3 + 2*5**(1/3)/3 + 4/3]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x)/(x^2 - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной